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机の下の秘密基地
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サイダックの証明法を実際にやってみた

素数が無限個あることを証明する方法の中でもっとも有名なのはユークリッドが発見した背理法によるものであろう。

 

他にもいくつか方法が知られているが、その中でも21世紀(2006年)にサイダックによって発見された方法は、ユークリッドの方法に勝るとも劣らぬ簡潔な証明法であり、これほどシンプルでエレガントな方法がユークリッドの時代から2000年以上も過ぎた現代においてついに発見されたことは数学の奥深さの一端を感じさせてくれる。

 

このサイダックの証明法は現在発行されている青チャートにも紹介されているため、耳にしたことがあるという生徒さんも多いと思う。しかし、そのシンプルさゆえに「何を言っているのかよく分からない」「分かっていたつもりだが誤解していた」という生徒さんが意外と多いのも事実である(※かく言う私も初めてこの証明法を見たときは一瞬ぽかんとしてしまった)。

そこで今回は、そんな高校生のみなさんにこの証明法を分かりやすくお伝えするというコンセプトで記事をまとめてみることにした。

 

まずこの証明法を行うための重要な前提知識として

「連続する2つの自然数は互いに素である」

という定理がある。この定理の証明についてはこの記事では割愛するので、知らなかった人はネットや青チャートで調べて欲しい。

 

そしていよいよ肝心のサイダックによる証明方法。

N1は2以上の自然数とする。

N1とN1+1は互いに素であるから、N2=N1(N1+1)は異なる素因数を2個以上持つ。同様にしてN3=N2(N2+1)は異なる素因数を3個以上もつ。この操作を続けることによりいくつでも多くの異なる素因数を持つ数を作ることができるから、素数は無限に存在する。

 

文字式によって書かれているためいまいちピンと来ないかもしれないので、具体的に数字を入れて試してみた。

 

Page1(クリックで拡大)

サイダック1

 

Page2(クリックで拡大)

サイダック2

Page3(クリックで拡大)

サイダック3

 

※余談
サイダックというのはどういう風貌の数学者なのだろうと思い画像検索したところ、ポケモンのコダックがひたすら出てきて「えっ、サイダックってこんな顔だったの!?」と思ったのだが、よくよく調べてみるとコダックの英語名が「サイダック」らしく、そのせいで検索結果がコダックまみれになっていたらしい。ユークリッド以来2000年ぶりのエレガントな証明法を見つけた偉大な数学者が、ポケモンのコダックに知名度で圧倒されてしまうなんて諸行無常である…

 

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