TOP >> あそびのページ >> 机の下の秘密基地
机の下の秘密基地
……プロ家庭教師ごん太の小さな発見……
<< お宮参り | TOP | 川崎ハロウィン2011【1】 >>
小学生でも解ける東大数学

 ※今回は純粋に算数・数学の話です。

【問題】
3以上9999以下の奇数aで、a^2−aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。(東大2005年文理共通)

※「a^2」というのは「aの二乗」のことです。テキストしか打てないネット上ではよく用いられる書式です。

※方程式や微分・積分の知識を使う問題ではないため、タイトルの通り本当に小学生でも解くことが可能です。興味の湧いた方はぜひ下記の解説を読む前にチャレンジしてみて下さい。


【私の答案】
a^2−a=a(a−1)と変形できるので、2つの連続する整数の積が10000の倍数になればよいということである。
10000=2^4×5^4と素因数分解できる。
aは奇数であるから、a−1の方が2^4を因数に持つことが分かる。
また、連続する2数のうち5の倍数になるのはどちらか一方だけだが、a−1が5^4も因数に持つとaが10000を超えてしまうので、5^4を因数に持つのはaであることが分かる。

そこで、a=5^4×mと置くと、aは9999以下の奇数という条件から、m=1,3,5,7,9,11,13,15の8通りの場合を確認すればよい。

それぞれのとき、a−1の値は624,1874,3124,4374,5624,6874,8125,9374となり、このうち2^4を因数に持つのはm=1のときの624のみ。

よって、a=625(だけ)が答えである。

※これは私が実際に解いたときの答案であり、模範解答ではありません。


【検討する】
・赤本の模範解答は基本的に同じ流れですが、もう少しエレガントに解いています。
・一般的にはaとa−1が互いに素であるということを利用して話を進めるようです。私はこの部分を「連続する2数の両方ともが5の倍数の訳ないよね。じゃあ、5^4をどっちかがまとめて持ってる訳だ」ということで進めました。中学受験でよく出題される「1から50までの数を掛け合わせると最後に0が何個並ぶでしょうか」という問題を解く時の考え方に近いです。小学生ならこちらの考え方を使うんじゃないかな。

・後半はもっとエレガントな解き方があり、実際は上記のように8通りの計算をしなくても正解を絞り込むことができます。私も解いているときにそんな予感がしました。ただ、「この程度の計算量ならゴリ押しでも十分に解けるぞ、下手に考え込んで時間をつぶすより確実に正解を取りにいこう!」と判断し、計算に進みました。実戦ではこういう割り切りも大切だと思います。そんなに毎回エレガントな解法が制限時間内に浮かぶはずないですよね。


【広告】2011年度生徒さん募集中です。お知り合いの方で家庭教師を探している方がいらっしゃいましたらぜひご紹介ください。数学が得意でないと思っている生徒さんも、きっかけ次第では数学好きになりますよ!

この記事の直リンク | 勉強のコツ | |
コメント
小学生で、二乗は習わないですZE!!
2012/03/27 1:01 AM by 小学校卒業生
>小学校卒業生さん
確かに二乗という書き方は習わないですね。実際に小学生に出題するとしたら「□×□−□」という形にするか、因数分解した形の「□×(□−1)」という形で出題する必要がありますね。
2012/03/27 11:33 AM by ごん太
コメントする










この記事のトラックバックURL
トラックバック機能は終了しました。
トラックバック